算法性能评估涉及到时间复杂度和空间复杂度分析,这里重点介绍空间复杂度
时间复杂度解析
这里有段非常简单的代码,求1,2,3...n的累加和。现在来估算一下这段代码的执行时间。
def added(n):
sum = 0
for i in range(n):
sum = sum + (i+1)
return sum
print(added(10))
从CPU的角度来看,这段代码的每行都执行着类似的操作:读数据—运算—写数据。尽管每行代码对应的CPU执行的个数,执行的时间都不一样,但是,我们这里只是粗略估计,所有可以假设每行代码执行的时间都一样,为unit_time。
那么,第2、3行代码分别需要1个unit_time的执行时间,第4、5行都运行了n遍,所以需要2n*unit_time的执行时间,所以这段代码总的执行时间是(2n+2)*unit_time。可以看出,所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。
按照这个分析思路,我们再来看这段代码:
def cal(n):
sum = 0
for i in range(n):
for j in range(n):
sum = sum + (i+1) * (j+1)
print(sum)
cal(10)
我们依旧假设每个语句的执行时间是unit_time。那么这段代码的执行总时间T(n)是多少呢?
第2、3、4行代码,每行都需要1个unit_time的执行时间,第5、6行代码循环了n遍,需要2nunit_time的执行时间,第7、8行代码循环执行了n^2遍,所以需要2n^2unit_time的执行时间。所以,整段代码总的执行时间T(n) = (2n^2 + 2n + 3)*unit_time。
尽管我们不知道unit_time的具体值,但是通过这两段代码执行时间的推导过程,我们可以得到一个非常重要的规律,那就是,所有代码的执行时间T(n)与每行代码的执行次数成正比。
我们可以把这个规律总结成一个公式:
T(n) = O(f(n))
其中,
T(n):表示代码执行时间 ;
n:表示数据规模大小;
f(n):表示每行代码执行的次数总和。
公式中的O表示代码的执行时间T(n)与f(n)表达式成正比
所以,第一个例子中的T(n) = O(2n+2),第二个例子中的T(n) = O(2n^2+2n+3)。就是大O时间复杂度表示法。大O时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间,而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势,所以,也叫做渐进时间复杂度。
当n很大时,你可以把它想象成10000,1000000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势,所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了,如果用大O表示法表示刚讲的那两段代码的时间复杂度,就可以记为:
T(n)=O(n);T(n)=O(n^2)
加法法则:总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
int cal(int n){
int sum_1 = 0;
int p = 1;
for (; p<100; ++p){
sum_1 = sum_1 + p
}
int sum_2 = 0;
int q = 1;
for(; q<n; ++q){
sum_2 = sum_2 + q;
}
int sum_3 = 0;
int i = 1;
int j = 1;
for(; i<=n; ++i){
j = 1;
for(; j<=n; ++j){
sum_3 = sum_3 + i * j;
}
}
return sum_1 + sum_2 + sum_3;
}
综合这三段代码的时间复杂度,我们取其中最大的量级。所以,整段代码的时间复杂度就为O(n^2)。也就是说:总的时间复杂度就等于量级最大的那段代码的时间复杂度。
乘法法则:嵌套代码的复杂度等于嵌套内代码复杂度的乘积
假设T1(n) = O(n),T2(n)=O(n^2),则T1(n) * T2(n) = O(n^3)。落实到具体代码上,我们可以把乘法法则看成是嵌套循环,举个例子:
int cal(int n) {
int ret = 0;
int i = 1;
for (; i<n ; ++i) {
ret = ret + f(i);
}
}
int f(int n) {
int sum = 0;
int i = 1;
for(; i<n; ++i) {
sum = sum +i;
}
return sum;
}
常见时间复杂度实例分析
复杂度量级
对于罗列的复杂度量级,我们可以粗略的分为两类,多项式量级和非多项式量级。其中,非多项式量级只有两个:O(2^n)和O(n!)
当数据规模n越来越大时,非多项式量级算法的执行时间会急剧增加,求解问题的执行时间会无限增长。所以,非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。因此,关于NP时间复杂度就暂且不说了。主要看下几种常见的多项式时间复杂度。
1.O(1)
O(1)是常量级时间复杂度的一种表示方法。一般情况下,只要算法中不存在循环语句,递归语句,即使有成千上万行的代码,其时间复杂度也是O(1)
2.O(logn)、O(nlogn)
对数阶时间复杂度非常常见,同时也是最难分析的一种时间复杂度。
i = 1;
while (i<=n) {
i = i * 2;
}
如果一段代码的时间复杂度是O(logn),我们循环执行n遍,时间复杂度就是O(nlogn)。而且,O(nlogn)也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如,归并排序,快速排序的时间复杂度都是O(nlogn)。
3.O(m+n)、O(m*n)
我们再来将一种跟前面都不一样的时间复杂度,代码的复杂度由两个数据的规模来决定。
int cal(int m,int n) {
int sum_1 = 0;
int i = 1;
for(; i<m; ++i) {
sum_1 = sum_1 + i;
}
int sum_2 = 0;
int j = 1;
for (; j<n; ++j) {
sum_2 = sum_2 + j;
}
return sum_1 + sum_2;
}
从代码中可以看出,m和n是表示两个数据规模。我们无法事先评估m和n谁的量极大,所以我们在表示复杂度的时候,就不能简单地利用加法法则,省略掉其中一个。所以,上面代码的时间复杂度就是O(m+n)
针对这种情况,原来的加法法则就不正确了,我们需要将加法规则改为:T1(m) + T2(n) = O(f(m)+ g(n))。但是乘法法则继续有效:T1(m)*T2(n) = O(f(m)*g(n))。
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